Formidling af matematik

For at eleverne ikke skal køre træt i den samme type skriftlige opgaver uge efter uge, kan formidlingsopgaver være en god afveksling.
Lad f.eks. eleverne skrive en artikel om et gennemgået emne, hvor målgruppen er personer, der ikke kender til emnet.
Prøv evt. at få dansklæreren til også at være med. I dansk skal eleverne bl.a. arbejde med formidling og artikelskrivning.
Mine 3g-ere har netop afleveret en sådan formidlingsopgave. Sammen med dansklæreren bad vi eleverne skrive en artikel til Illustreret Videnskab, som skulle omhandle et matematisk emne, de tidligere havde fået gennemgået. Det var et krav at en praktisk anvendelse af det matematiske emne skulle indgå og at der skulle være en faktaboks med et relevant bevis.
Vi ville i lille skala demonstrere for eleverne, hvordan man kan skrive SRP i fagene matematik og dansk.
I stedet for at vælge blandt gennemgåede emner kan eleverne også udfordre med selv at skulle sætte sig ind i et lille emne. Evt. kan eleverne beskæftige sig med en række forskellige emner. Dermed kan målgruppens være klassekammerater, der ikke kender emnet.
Ideer til sådanne emner kunne være:
     Gyldne snit, Fibonaccital, uendelighed, tallet Pi, vektorfunktioner, komplekse tal, ...

Mundtlig skriftlighed...

Mine 1g-ere har til i dag løst nogle opgaver omkring tangenter for at få det begreb bedre på plads og for at få trænet vores to matematikprogrammer Maple og Geogebra.
I stedet for at gennemgå lektien på tavlen, som de fleste elever vil opfatte som spild af tid og temmelig kedeligt, sætter jeg eleverne sammen to og to.
Lektien til eleverne var, at de skulle regne flest mulige opgaver på 20 minutter. Derfor vil jeg sammensætte eleverne i forhold til, hvor langt de er kommet på opgavearket.
Hver elev får et par minutter til at gennemlæse de regnede opgaver, hvor der specielt skal fokuseres på metoden.
Herefter skal eleverne i par regne spørgsmålene igen. På skift skal eleverne gennemgå et spørgsmål. Det gøres ved at elev 1 forklarer, hvordan spørgsmål 1 besvares og samtidig er elev 2 sekretær. Elev 2 må gerne stille spørgsmål men må kun nedskrive det som dikteres. Der skal skrives det som elev 1 siger - også selvom det er forkert.
Kun hvis elev 1 løber ind i problemer, må elev 2 hjælpe med selve løsningen.
I spørgsmål 2 skiftes der selvfølgelig, så det er elev 2 der forklarer og elev 1 er sekretær.
Tanken med denne øvelse er, at eleverne skal træne sproglig matematisk formidling og selvfølgelig også hvordan forskellige opgavetyper løses. Hvis en opgaveløsning italesættes, så er det min formodning, at eleverne bedre huske metoden. At eleverne arbejder sammen to og to betyder, at eleverne måske ser andre løsningsforslag og at de får trænet evnen til både at lytte til, forstå samt at formulere matematiksprog.

Flipped Learning - et nyt vidundermiddel?

Næsten uanset hvor man lige nu kigger hen i undervisningsverdenen, så tales der meget rosende om Flipped Classroom eller Flipped Learning. I sin stramme form handler det om at flytte lærergennemgang fra klasseværelset hjem til eleverne, således at undervisningstiden kan benyttes på at hjælpe eleverne med at arbejde videre med emnet. Det er meningen, at læreren optager sin gennemgang på video f.eks. som en screencast. Eleverne skal så hjemme se videoen inden næste time.
Sådanne videoer har selvfølgelig nogle åbenlyse fordele, idet eleverne igen og igen kan konsultere videoerne for at få hjælp. Og eleverne synes også det er en god form for lektie. Samtidig er det rart som lærer at kunne bruge mere tid på at hjælpe eleverne end ved at stå ved tavlen.
Jeg bruger selv metoden en gang i mellem - typisk ved introduktion til nye elementer i vores matematikprogram eller ved mere omfangsrige beviser, som er svære for eleverne at læse i en bog.
Men jeg synes ikke ubetinget det er en succes. Eleverne ser godt nok videoerne, men har de hovedet med? Det er dejlig nemt at se en video for så kan man sige, at man har lavet lektier. Min erfaring er at sådanne videoer kun kan bruges, hvis eleverne efterfølgende selv skal arbejde. Det er den eneste måde hvorpå de kan konstatere om stoffet er forstået. Så jeg mener ikke at man kan nøjes med at give eleverne en video for - den skal suppleres med spørgsmål som aktiverer/tjekker eleverne.
Måske kan man indlægge tænkepauser i videoerne. Det har jeg ikke selv prøvet, men det er da en overvejelse værd.
En anden fare ved for voldsom brug af flipped learning er, så vidt jeg kan se, at denne undervisningsform er endnu en lille brik i vores nursing af eleverne. Vi brokker os over at eleverne ikke er gode nok til at læse (faglige) tekster. Det bliver jo ikke bedre af, at vi omlægger forberedelsen og undervisningen, så mængden af læsning reduceres markant.
Så jeg mener ikke flipped learning er det nye store vidundermiddel som ukritisk skal implementeres i undervisningen.
Når det er sagt, så frigørelse af tid fra lærergennemgang i undervisningstiden absolut en positiv ting. Der findes dog andre måder at flytte fokus fra klasseundervisning til elevaktiverende undervisning, hvor det at få eleverne til at arbejde aktivt er i centrum.
Og så er der selvfølgelig lærerens arbejdstid. Det tager tid at optage videoer. I starten ville jeg gerne gøre videoerne perfekte, så optagelser hvor jeg ikke er klar nok i formuleringerne blev forkastet. Nu forsøger jeg med "one take". Det er ok, at eleverne ser, at jeg også kan formulere mig kludret.
Der findes utallige videoer på Youtube, som beskriver Flipped Learning/Classroom. I USA har Jessica Myxters netop afleveret Masterspeciale i pædagogik om Flipped Classroom i Matematik. Læs mere på bloggen IT i Gymnasiet (Link).

Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart

Som matematiklærere har vi et godt kendskab til opgavetyper, der sædvanligvis stilles til de skriftlige eksamener. Men den viden har eleverne ikke.
I år vil jeg derfor, når jeg giver mine 3g-ere hjemmeopgaver for, markere de opgaver, som er specielt relevante i relation til den skriftlige eksamen. Jeg angiver desuden det relevante emne opgaven hører til.
Jeg har derudover bedt eleverne om at oprette et Maple-dokument, hvor de skal samle deres disse opgaver i relation til de enkelte emner. Det er nemt i Maple, når sektioner benyttes.
Det bliver elevernes eget ansvar at opdatere dokumentet og jeg har ikke tænkt mig at kontrollere dokumentet. Opgaven skal først placeres i Maple-dokumentet, når de har fået mine rettelser retur.
Her i starten vil jeg  give eleverne lidt elevtid til at indarbejde mine kommentarer til deres besvarelse, så eventuelle fejl er fjernet inden opgaven lægges ind i Maple-dokumentet.
Det er vigtigt, at det er elevernes egne besvarelser, som placeres i Maple-dokumentet. Jeg vil under ingen omstændigheder udlevere skabeloner, der kan benyttes til løsning af opgaverne.
I dokumentet vil vi kun placere opgaver, der er relevante for delen med hjælpemidler. Det er ved denne del af eksamen, at et sådant dokument kan hjælpe eleverne.
Ideen er selvfølgelig også, at eleverne selv tilføjer opgaver/gode råd/... til deres dokument. Det skal være deres personlige dokument, som kan hjælpe dem ved den skriftlige eksamen.

Begrebsbanko

Jeg har lige været på hyttetur med min nye 1g-klasser.
Da vi inden turen talte om mulige aktiviteter, foreslog en elev brøkregning for sjov. Det gør man ikke ustraffet...
Jeg synes brøkregning er dybt uinteressant om end det jo er temmelig vigtigt ved løsning af opgaver og i beviser. Jeg satte mig derfor for at finde på en leg, hvor brøkregning trænes. Det endte med en brøkbanko:
Eleverne blev inddelt i grupper på 4-5 personer, hvor hver gruppe fik en bankoplade, hvorpå der stod 9 tal mellem 1 og 50.
Jeg havde desuden på sedler nedskrevet 50 opgaver med brøker. Disse sedler var nummereret A1, A2, A3, ... A50.
Jeg ville gerne have lidt aktivitet i legen, så svarene på de 50 opgaver blev tapet fast på 50 musemåtter, som jeg havde placeret lidt væk fra eleverne.
Princippet i legen var, at hver gruppe hentede en opgave, som de så løste. Jeg havde lavet et ark, hvorpå opgave og mellemregninger skulle angives. Formen var således:

Opgnr	Opgave og løsning	Bankonr
A1
A2
...

Når eleverne havde løst en opgave, skulle de finde musemåtten med det korrekte svar. På bagsiden af hver løsning, havde jeg så skrevet det tilhørende nummer til bankopladen.
Eleverne "bringer", så bankonummeret tilbage og håber det er med på deres bankoplade.
Nu hentes afleveres sedlen med den regnede opgave og en ny opgave vælges. Fremgangsmåden fortsætter indtil en gruppe har fået alle numre på deres spilleplade.
Eleverne gik meget op i spillet (måske fordi der er mange drenge i klassen), og de fik regnet/diskuteret en del brøkregning.
Det var dog lidt svært at holde dampen oppe mere end 15 min, så jeg stoppede spillet og vi var nødt til at tælle, hvem der havde flest "rigtige". Derfor vil jeg en anden gang vælge færre opgaver - sandsynligvis 30.
Jeg kan sagtens forestille mig at bruge spillet til andre "emner". Det kunne f.eks. være begreber, simple ligninger, potensregneregler, ...
Det er i hvert fald ikke sidste gang, jeg laver et spil af den type.

Tangent i starten af 1g

Som tidligere nævnt starter jeg normalt i mine nye klasser med funktioner og deres karakteristika. Og her er monotoniforhold et væsentligt begreb til at beskrive funktioners forløb.
Når eleverne er blevet fortrolige med monotoni-begrebet, introducerer jeg tangenter. I første omgang arbejder vi med tangenter i Geogebra, hvor det er nemt at få sådanne konstrueret. Samtidig kan eleverne undersøge tangenternes egenskaber ved at trække i punkterne på grafen, hvor tangenterne er placeret.
Koblingen til monotoniforhold og til  lineære funktioner, som eleverne har et vist kendskab til fra folkeskolen, fanger eleverne hurtigt. I hvert fald på det mere overordnede plan.
Når jeg inden længe introducerer Maple, så vil f '(x) ligeledes blive præsenteret. Jeg går ikke i dybden men forklarer blot eleverne, at Maple kan bestemme hældningen i x=2 ved at udregne f '(2). De finder selv hurtigt ud af at bestemme ekstremumspunkter ved at løse f '(x)=0 med solve.
Fordelen ved at introducere begrebet tangent og tilhørende opgaver gør, at eleverne er fortrolige med tangentbegrebet, når vi kommer til differentialregning. Differentialregning er jo svært nok i sig selv. Hvis eleverne allerede kender f '(x) og dens betydning, er de godt på vej. Emnet virker knapt så overvældende og underligt. Og så er der selvfølgelig også et fint pædagogisk argument i, at eleverne efter en del tid at have arbejdet med f '(x) som en "sort boks", lærer selv at bestemme f ' (x).
Den tidlige introduktion af f '(x) giver mig desuden mulighed for at stille langt flere interessante hjemmeopgaver til eleverne, idet optimeringsopgaver jo er i spil. Dermed har jeg også større mulighed for at give eleverne mere virkelighedsnære opgaver knyttet til deres studieretning..