Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Sammensatte funktioner - differentiation

Jeg synes ofte, der er problemer med at få elever til at forstå og genkende sammensatte funktioner.
I min 2g-klasse har jeg i år forsøgt mig med følgende metoder til træning af sammensatte funktioner:

1. Skema hvor manglende felter skal udfyldes - i nogle rækker er den sammensatte funktion angivet, mens det i andre rækker er elevernes opgave selv at konstruere de sammensatte funktioner (Link)
2. Jeg har lavet en Tarsia (form som diamant), hvor alle sider har simple funktioner. Eleverne har i par dannet en tilfældig korrekt formet diamant. De funktioner, som nu ligger opad hinanden, skal eleverne nu kombinere til en af de to mulige sammensatte funktioner. Disse sammensatte funktioner nedskrives på papir. Når alle nabofunktioner er kombineret, gives alle brikker samt de nedskrevne sammensatte funktioner til en anden gruppe, som så skal genskabe figuren ud fra de sammensatte funktioner (Link)
3. Jeg har i en del timer givet eleverne få opgaver med sammensatte funktioner - både med at skille funktioner ad og hvor eleverne selv skal sammensætte funktioner.

Som opstart til differentiation af sammensatte funktioner skulle eleverne ud fra nogle givne funktioner forsøge at gætte sig til formlen for differentiation af sammensatte funktioner. Eleverne differentierede de indre og ydre funktioner i hånden (en del af skemaet under punkt 1. ovenfor). Efterfølgende blev den sammensatte funktion differentieret i Maple, hvor eleverne så ledte efter et system i forhold de differentialkvotienterne for den indre og ydre funktion. De sammensatte funktioner skal vælges lidt smart - ellers laver Maple forkortninger, så formlen ikke kan gættes.
Formlen for differentiation af sammensat funktion er en af de formler i gymnasiet, som jeg oplever, de svage elever har sværest ved at forstå. Heldigvis er der ingen grund til at prøve at huske formlen, for det er meget nemmere at huske metoden:
Jeg beder mine elever opskrive y=g(x) (indre funktion), f(y) (ydre funktion) samt de tilhørende afledede funktioner i en tabel.
Differentialkvotienten er så blot de to differentierede funktioner ganget sammen. Det er meget nemmere at huske.



Her efter arbejdet med at forstå sammensatte funktioner i relation til differentiation er jeg kommet til at tænke over, om det måske er smartere at introducere sammensatte funktioner, når man arbejder med elevernes forståelse af funktionsbegrebet i 1g.
Vi kender alle til problemerne med at forstå betydningen af f.eks. f(2) i forhold til f(x) = 2 osv. Jeg tror, jeg allerede i år vil forsøge mig med introducere sammensatte funktioner i min 1g-klasse.

Introduktion til Maple

Der har været temmelig stille på min blog den seneste måned. Jeg har været ramt af en række ekstra arbejdsopgaver, så tiden har ikke været til at skrive indlæg her.
Jeg vil i den kommende tid prøve at få skrevet nogle af de indlæg, som jeg ikke lige har overskud til at skrive tidligere.
I dette indlæg vil jeg skrive lidt om, hvordan jeg har introduceret min 1g-klasse til Maple.
Som tidligere beskrevet, har vi i starten arbejdet en del med Geogebra, da langt de fleste elever i forvejen kender programmet fra folkeskolen og fordi det er et nemmere program at gå til.
Fro 14 dage siden begyndte eleverne så småt at spørge til Maple: "Hvornår skal vi starte på det program?". Nu var det tid...
Jeg valgte i starten at gentage de samme opgaver, som vi allerede har lavet en gang i Geogebra. Det gjorde jeg for at eleverne ikke både skal udfordres af matematikken og indlæring af Maple. Jeg vil gerne have fokus på Maple. Samtidig fik vi også løbende talt om de to programmers styrker og svagheder.
I første omgang arbejdede eleverne med følgende basale faciliteter:
1) Grundlæggende egenskaber (layout, indtastning, format, ...)
2) Grafer
3) Ligninger
4) Funktioner
Jeg har med vilje set bort fra en del parametre, som kan bruges i kommandoerne. I første omgang kigger vi kun på de mest brugte parametre.
Eleverne fik udleveret det vedhæftede dokument (Link) som kort beskriver ovenstående faciliteter. Til hver facilitet hører også en lille screencast. Min erfaring er at mange elever foretrækker en screencast frem for en skreven forklaring.
Ofte har eleverne problemer med syntaksen og at huske kommandoerne. Derfor giver jeg i hver time eleverne en række små opgaver, som er indtastet forkert i Maple. Opgaven er nu at kunne finde fejlen(-e). Opgaverne kan f.eks. være designet som et diasshow, hvor der er 30 sekunder til at finde fejlene. Dermed tvinges eleverne til at tænke hurtigt.