Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Hjemmeopgaver til de gode elever

Jeg oplever tit, at de gode elever synes hjemmeopgaverne er meget kedelige, og at der er alt for mange gentagelser. Det synes jeg er synd, for det kan være med til at dræbe disse elevers interesse for matematik. Derfor er det vigtigt, at der også er udfordrende opgaver til de gode elever i hjemmeopgaverne. Det kan gøres på mange måder. Her er et par eksempler:
1) Giv eleverne for mange opgaver i forhold til elevtiden. Lad så eleverne selv vælge, hvilke opgaver de vil regne. Læreren kan evt. markere opgaverne med sværhedsgrader.
2) Lad nogle opgaver være frivillige.
3) Lad nogle opgaver have det prædikat at de kun skal regnes, hvis eleven ikke allerede har brugt den afsatte tid på de regnede opgaver.
De ekstra opgaver kan være svære opgaver fra tidligere eksamenssæt, men det kan også være lidt skæve opgaver, der udfordrer eleverne lidt utraditionelt i forhold til sædvanlige opgaver. Hertil kan man f.eks. bruge gamle Georg Mohr opgaver - ofte får eleverne uden svarmuligheder. Den norske Abelkonkurranse er en anden mulighed for utraditionelle opgaver.
I denne uge har jeg fundet denne lille opgave:
Lad os tage et tre-cifret tal (f.eks. 436)
Skriv tallet to gange efter hinanden, så du får et seks-cifret tal (her 436436)
Der gælder nu at 7, 11 og 13 går op i det nye tal (436436/7=62348, 436436/11=39676 og 436436/13=33572)
Det "underlige" er, at uanset hvilket tre-cifret tal du starter med, så går 7, 11 og 13 altid op i tallet!
HVORFOR?????
Kan man gøre noget tilsvarende med fire-cifrede tal?

Tilsvarende burde man også tilbyde de dårligere elever mulighed for hjælp til løsning af opgaver. Det kunne være i form af hjælpespørgsmål. Det har jeg ikke selv været særlig god til. Hvis jeg giver tips til løsning af opgaver, så har alle eleverne fået tippet. Det er måske igen lidt synd for de gode elever at de får løsningsmetoden foræret.
Et hjælpeark som eleverne kan søge assistance i ved problemer kunne være en mulighed, men det tager jo tid at udarbejde et sådant ark så...

Lav opgaver som lektie

I timen i dag havde jeg planlagt, at eleverne skulle træne bruge af deres IT-program (Maple) til at løse vektoropgaver.
I stedet for at give eleverne nogle opgaver de skulle regne hjemme, så bad jeg eleverne digte nogle opgaver, der benyttede udvalgte kommandoer i Maple. De skulle desuden regne deres egne opgaver hjemmefra - løsning kan passende skjules i en sektion (man kan skjule afsnit i Maple), så den ikke umiddelbart er synlig, når klassekammerater løser opgaverne.
I timen satte jer eleverne samme to og to. To elever havde ikke lavet lektier (den ene havde nu en god forklaring), så de fik lov til at passe sig selv. Jeg tror de følte sig lidt uden for - håber det er med til at fremme lektielæsningen, selvom det nu sjældent er et problem i den klasse.
Eleverne arbejdede i par med deres opgaver på følgende måde:
Den ene elevs opgaver blev åbnet i Maple. Eleven som havde lavet opgaven var sekretær, mens kammeraten dikterede, hvordan opgaverne skulle løses.
Dermed fik vi både trænet elevernes mundtlighed og eleverne fik desuden mulighed for at udveksle forskellige stile ved opgaveløsning.
Elevernes syntes det var sjovt med en lidt anderledes måde at lave lektier på.

Diskussion som del af lektie

I 2g. var det efter projekt om skalarprodukt tid til at få introduceret enhedsvektor og tværvektor.
Jeg havde som lektie bedt eleverne om at komme med bud på koordinaterne på disse to vektorer. Som hjælp fik de udleveret det vedhæftede arbejdsark (link).
Det var vigtigt at eleverne selv prøvede at bestemme formlerne men også at de kunne opstille hvilke egenskaber deres bud på koordinater skulle opfylde. I den efterfølgende time undersøgte (beviste) eleverne i grupper, om gættene var korrekte. Det gav nogle gode diskussioner, og jeg tror desuden eleverne fik en bedre fornemmelse for karakteristika ved tværvektor og enhedsvektor.
Som et forsøg havde jeg oprettet to hjemmesider (til enhedsvektor henholdsvis tværvektor) på todaysmeet.com hvor jeg opfordrede eleverne til at udveksle deres ideer mens de forberedte sig. Det resulterede i en del sjove ideer. Jeg blandede mig også lidt i diskussionen.
Ideen var igen at få eleverne til at lave deres lektier. Jeg havde ikke stillet krav om at man skulle skrive noget på hjemmesiderne, men jeg opfordrede eleverne til at skrive deres tanker ned.
Todaysmeet er en simpel hjemmeside, hvor man nemt kan oprette samtaler. Deltagerne i samtalerne skal blot have linket af vide og så kan alle skrive. Beskederne skal være korte - højest 140 tegn.
Et eksempel:

Quiz som lektielæsning

Får eleverne regnet de opgaver, de har fået for hjemme? Jeg er lidt bange for at for mange sidder og gemmer sig i timerne, hvis det er muligt.
Jeg gør meget ud af at eleverne føler sig udenfor, hvis de ikke har læst lektier. Det er vigtigt at få opbygget en kultur i klassen, hvor man laver sine lektier.
En (sjov) måde at tjekke om eleverne laver lektier er at lave en online quiz, som de skal besvare hjemme. Så kan jeg se, hvem der laver lektier og hive fat i de elever, som ikke har besvaret quizzen.
Jeg bruger hjemmesiden Socrative. Når jeg som lærer registrerer mig, får jeg tildelt et Room number. Det er blot dette nummer, jeg skal give eleverne, når jeg vil have dem til at besvare en quiz. Jeg laver blot quizzen (spørgsmålstyper: multiple choice og tekstfelt - det er muligt at indsætte billeder) og starter den. Quizzen kan sagtens være åben over flere dage.
Jeg havde lavet en lille quiz i vektorer til min 2g-klasse, blot for at tjekke om det mest basale var på plads. Det tror jeg, eleverne syntes godt om.
Når quizzen stoppes, kan resultaterne gemmes i et Excel-regneark. Hvis jeg ved oprettelsen af spørgsmålene har angivet de korrekte svar, vil de korrekte svar være markeret med grøn baggrund og "forkerte" svar med rød baggrund. I opgaver, hvor tekstsvar skal indtastes, kan man også indtaste korrekt svar, men så skal det indtastede tegn for tegn være identisk med det korrekte svar. Derfor kan korrekte svar godt være angivet som forkerte - f.eks. hvis der er indsat et ekstra mellemrum.
Ved at vise eleverne alle indtastede svar (selvfølgelig uden elevnavn) kan man sætte eleverne til at diskutere svarene. Hvilke af de forkert-markerede svar er faktisk korrekte? Hvad har eleven tænkt, der hvor svaret er forkert?...

Regning af hele eksamenssæt

Nu hvor eksamen nærmer sig for afsluttende matematikhold, vil man som lærer jo gerne have at eleverne får prøvet kræfter med flest mulige af de gamle eksamenssæt. Men det koster meget på den afsatte tid til skriftligt arbejde. Og så er eleverne ikke rigtig indstillet på at bruge så meget tid på en aflevering.
Jeg prøvede derfor en ny model:
Eleverne blev sat samme 2 og 2. I første omgang (omlagt undervisning) skulle gennemløbe alle spørgsmål og til hvert spørgsmål notere metoden, der skal benyttes til at løse spørgsmålet.
Eleverne fordeler så indbyrdes, hvem der regner hvilke opgaver færdig hjemme.
Dagen før aflevering til mig, skulle eleverne udveksle deres løsninger. Lektien til timen næste dag var grundigt at gennemlæse og kommentere makkerens besvarelse.
Der var så afsat 30 min af timen til at alle par kunne få lave en god samlet besvarelser, som så blev afleveret til mig.
De fleste elever syntes det var en god metode. Specielt at læse en anden persons stil ved afleveringer.
Læreren (mig) syntes, at ideen var god, men eleverne var ikke været gode/kritiske nok, når de gennemgik makkerens løsninger. Der var flere fejl i besvarelserne end normalt.

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.